命題３４
２つの与えられた数が割り切る最小の数をみつけること。
AとBを２つの与えられた数とせよ。
それらが割り切る最小の数をみつけることが要求されている。
今、AとBは互いに素かそうでないかのどちらかである。
まず、AとBを互いに素であるとせよ。
AをBにかけてCを作る。
そのとき、BをAにかけてCを作る。
それゆえに、AとBはCを割り切る。
次に、それらが割り切る最小の数でもあること主張する。
もし、そうでなければAとBはCより小さいある数Dを割り切る。
AがDを割り切った商と同じだけEの中に単位があるとし、BがDを割り切った商と同じだけFの中に単位があるとせよ。
そのとき、AはEをかけてDを作り、BはFをかけてDを作る。
それゆえに、AとEの積は、BとFの積と等しく、それゆえに、AはBに対して、FはEに対する。definitionⅦ．１５、propositionⅦ．１９
しかし、AとBは互いに素で、素であるものは最小で、最小の数は同じ比をもつ数を、大きいほうは大きいほうを、小さいほうは小さいほうを割り切り、同じ商である。propositionⅦ．２１
それゆえに、後項は後項を割り切るように、BはEを割り切る。propositionⅦ．２０
また、AはBとEをかけCとDを作るので、それゆえに、BはEに対して、CはDに対する。propositionⅦ．１７
しかし、BはEを割り切る。
それゆえに、CもまたDを割り切り、大きいほうが小さいほうを割り切り、これは不可能である。
それゆえに、AとBはCより小さいすべての数を割り切らない。
それゆえに、CはAとBで割り切られる最小の数である。
次に、AとBは互いに素でないとせよ。
AとBと同じ比をもつ数のうち最小の数FとEをとる。propositionⅦ．３３
それゆえに、AとEの積は、BとFの積と等しい。propositionⅦ．１９
AはEをかけてCを作る。
そのとき、BはFをかけてCを作る。
それゆえに、AとBはCを割り切る。
次に、それらが割り切る最小の数であると主張する。
もし、そうでなければAとBはCより小さいある数Dを割り切る。
AがDを割り切った商と同じだけGの中に単位があり、BがDを割り切った商と同じだけHの中に単位があるとせよ。
そのとき、AはGをかけてDを作り、BはHをかけてDを作る。
それゆえに、AとGの積は、BとHの積と等しい。
それゆえに、AはBに対して、HはGに対する。propositionⅦ．１９
しかし、AはBに対して、FはEに対する。
それゆえに、FはEに対して、HはGに対する。
しかし、FとEは最小で、最小の数は同じ比をもつ数を、大きい数は大きい数を、小さい数は小さい数を割り切り商は同じである。
それゆえに、EはGを割り切る。propositionⅦ．２０
また、AはEとGをかけて、CとDを作るので、それゆえに、EはGに対し、CはDに対する。propositionⅦ．１７
しかし、EはGを割り切る。
それゆえに、CもまたDを割り切り、大きい数が小さい数を割り切り、不可能である。
それゆえに、AとBはCより小さいすべての数を割り切らない。
それゆえに、CはAとBで割り切られる最小の数である。
証明終了